Chi vuol essere milionario? Chi vuole imparare le proprietà della moltiplicazione!
Se siete lettori assidui di Natura Matematica, vi sarete accorti che non è la prima volta che in un post del mio blog compare il nome “Chi vuol essere milionario?”. Un po’ di tempo fa infatti pubblicai un post di matematica riguardante le altezze dei triangoli, per il quale avevo tratto spunto da una risposta errata fornita da una concorrente del famoso gioco di Gerry Scotti, e penso che partire da una trasmissione televisiva nota possa rappresentare un ottimo incipit per introdurre con leggerezza alcuni concetti fondamentali di una data materia, in particolar modo quelle di ambito scientifico.
E’ così che ogni tanto mi metto alla ricerca di altri strafalcioni televisivi riguardanti risposte errate a domande di matematica, e quando ho trovato quello che sto per proporvi, mi sono innanzitutto piegato in due dal ridere. Successivamente, dopo aver ritrovato il cosiddetto self-control, ho avuto l’idea di mostrarlo ai miei alunni di prima media a scuola, visto che qualche mese prima avevamo affrontato la moltiplicazione e le relative proprietà. Fino a poco tempo fa di questa scena era possibile trovare il video Youtube, ma è stato recentemente rimosso su richiesta di Mediaset :-(. E vabbé, ci accontenteremo della nostra immaginazione e della descrizione a parole della scena.La domanda posta alla concorrente era la seguente: “Se moltiplichi tra di loro tutte le cifre che trovi sul cellulare, cosa ottieni?”
La concorrente è andata completamente nel pallone, perché dopo una (lunga… ma molto lunga…) serie di elucubrazioni mentali, comprende da sola (o quasi…) che la domanda è molto più semplice di quanto non sembri.
In realtà, su questo quesito e sul modo in cui la concorrente l’ha affrontato, si può fare una vera e propria lezione sulle proprietà dell’operazione di moltiplicazione. Verifichiamolo:
1) Nell’operazione che vuole eseguire la concorrente, in cui lo 0 viene completamente ignorato, viene applicata la proprietà associativa: 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 = 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 = 6 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 = e così via. In poche parole, si sostituisce a due o più fattori di una moltiplicazione il loro prodotto. Ignorando la presenza dello 0, si può facilmente intuire come la concorrente sia partita per la tangente verso cifre astronomiche, di cui ha poi perso il conto.
1) Nell’operazione che vuole eseguire la concorrente, in cui lo 0 viene completamente ignorato, viene applicata la proprietà associativa: 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 = 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 = 6 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 = e così via. In poche parole, si sostituisce a due o più fattori di una moltiplicazione il loro prodotto. Ignorando la presenza dello 0, si può facilmente intuire come la concorrente sia partita per la tangente verso cifre astronomiche, di cui ha poi perso il conto.
2) La concorrente ad un certo punto, arrivata ad un prodotto intorno a 60000, si rende conto di aver saltato a piè pari lo 0, allora dice: “60.000 * 0 = 60.000! […] Per forza devo avere un risultato che non è 0 […]; solo per il fatto che moltiplico 1 * 2, ottengo un risultato che non è 0″. E’ chiaramente un errore, perché la concorrente attribuisce allo 0 il valore di elemento neutro, ossia un operando che, in una data operazione, non ne cambia il risultato. Ma 0 è elemento neutro soltanto dell’addizione, perché ad esempio 60.000 + 0 = 60.000, ma nella moltiplicazione 0 è elemento assorbente. Viene chiamato elemento assorbente perché, se moltiplicato per qualsiasi altro numero, restituisce come prodotto sempre se stesso. Nella moltiplicazione invece è 1 l’elemento neutro.
3) La concorrente verso la fine fa una strana osservazione, che la porta inspiegabilmente alla soluzione: “…perché potrei moltiplicare anche al contrario. Cioè se anziché fare 0 * 1, faccio 1 * 0, ottengo come risultato 0!”. Sta parlando della proprietà commutativa? La proprietà commutativa della moltiplicazione prevede che, cambiando l’ordine dei fattori, non cambi il prodotto di una moltiplicazione. Se quindi la concorrente avesse ragione, moltiplicando 1 * 0 dovrebbe ottenere comunque 1 come prodotto! Ma fortunatamente, non si sa come, questo pseudoragionamento la conduce sulla strada giusta e comprende che il risultato dev’essere 0, proprio perché lo 0 nella moltiplicazione è elemento assorbente e non elemento neutro come l’1.
4) Cosa manca? Beh, mancherebbe la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione, che avrebbe potuto aiutarla nel calcolo 720 * 7. La concorrente infatti risponde: “fa circa 500”, ma in realtà il risultato è circa 5000! Con la proprietà distributiva avrebbe risparmiato un altro po’ di panico, organizzando l’operazione in questo modo: (700 + 20) * 7 = 700 * 7 + 20 * 7 = 4900 + 140 = 5040. Con la proprietà distributiva si allunga il procedimento ma si può dividere un’operazione in due o più operazioni più comode da svolgere a mente.
Dopo tutto questo, però, è sempre bene considerare che i momenti di panico possono capitare a chiunque.
Ultima nota: se avete sempre avuto problemi ad incolonnare i prodotti parziali di una moltiplicazione in colonna, vi consiglio questo metodo estremamente facile, pratico e curioso di moltiplicazione a reticolo secondo il metodo arabo-indiano.
3) La concorrente verso la fine fa una strana osservazione, che la porta inspiegabilmente alla soluzione: “…perché potrei moltiplicare anche al contrario. Cioè se anziché fare 0 * 1, faccio 1 * 0, ottengo come risultato 0!”. Sta parlando della proprietà commutativa? La proprietà commutativa della moltiplicazione prevede che, cambiando l’ordine dei fattori, non cambi il prodotto di una moltiplicazione. Se quindi la concorrente avesse ragione, moltiplicando 1 * 0 dovrebbe ottenere comunque 1 come prodotto! Ma fortunatamente, non si sa come, questo pseudoragionamento la conduce sulla strada giusta e comprende che il risultato dev’essere 0, proprio perché lo 0 nella moltiplicazione è elemento assorbente e non elemento neutro come l’1.
4) Cosa manca? Beh, mancherebbe la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione, che avrebbe potuto aiutarla nel calcolo 720 * 7. La concorrente infatti risponde: “fa circa 500”, ma in realtà il risultato è circa 5000! Con la proprietà distributiva avrebbe risparmiato un altro po’ di panico, organizzando l’operazione in questo modo: (700 + 20) * 7 = 700 * 7 + 20 * 7 = 4900 + 140 = 5040. Con la proprietà distributiva si allunga il procedimento ma si può dividere un’operazione in due o più operazioni più comode da svolgere a mente.
Dopo tutto questo, però, è sempre bene considerare che i momenti di panico possono capitare a chiunque.
Ultima nota: se avete sempre avuto problemi ad incolonnare i prodotti parziali di una moltiplicazione in colonna, vi consiglio questo metodo estremamente facile, pratico e curioso di moltiplicazione a reticolo secondo il metodo arabo-indiano.
