Determinare la frazione generatrice di un numero decimale illimitato periodico

Dopo aver visto come ottenere la frazione generatrice di un numero decimale limitato, vediamo ora come fare se abbiamo un numero decimale illimitato periodico, ossia un numero con una quantità illimitata di cifre decimali che si ripetono periodicamente (ricordando che il gruppo di cifre che si ripete è chiamato periodo).

Possiamo trasformarlo nella corrispondente frazione generatrice nel seguente modo:

1) Tracciamo la linea di frazione della frazione generatrice

2) Al numeratore scriviamo il numero formato da tutte le cifre lasciando da parte la virgola, al quale sottraiamo il numero formato dalle cifre che precedono il periodo

3) Al denominatore scriviamo un numero formato da tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo (ricordiamo che l’antiperiodo è il gruppo di cifre, eventualmente presenti, che si trovano subito dopo la virgola e prima del periodo).

4) Si riduce, eventualmente, ai minimi termini la frazione così ottenuta.

Facciamo un esempio con un numero decimale periodico semplice, ossia privo di antiperiodo:

Facciamo un esempio con un numero decimale periodico misto, ossia con antiperiodo:

La spiegazione di questa regola apparentemente assurda e priva di significato può essere fornita mediante un esempio.

Osserviamo innanzitutto che due numeri periodici semplici con lo stesso periodo hanno come differenza non  un numero periodico, bensì un numero naturale. Infatti:

Ora prendiamo in considerazione un numero periodico qualsiasi, di cui vogliamo determinare la frazione generatrice, la quale sarà indicata con una lettera a piacere, ad esempio x. Sarà vero ad esempio che:

Se moltiplichiamo entrambi i membri dell’equazione per 10, avremo:

E operando con una sottrazione membro a membro tra le due equazioni:

E dividendo ambo i membri per 9:

Si può seguire un ragionamento analogo per i numeri periodici misti. Anzi… ve lo lascio come esercizio ;-).