Dimostrare che un rettangolo con le diagonali perpendicolari è un quadrato
Dimostrare che un rettangolo con le diagonali perpendicolari è un quadrato. Hp: AC ⊥ BD; gli angoli interni A = B = C = D = 90°
Th: AB = BC = CD = DA
Dimostrazione:
Sappiamo per ipotesi che il nostro quadrilatero è un rettangolo e che le sue diagonali sono perpendicolari. Queste ultime, essendo le diagonali di un rettangolo, devono dimezzarsi scambievolmente. Indichiamo pertanto con M il punto medio in cui esse si intersecano.
Dimostrazione:
Sappiamo per ipotesi che il nostro quadrilatero è un rettangolo e che le sue diagonali sono perpendicolari. Queste ultime, essendo le diagonali di un rettangolo, devono dimezzarsi scambievolmente. Indichiamo pertanto con M il punto medio in cui esse si intersecano.
I triangoli AMD e CMD sono congruenti per il 1° criterio di congruenza dei triangoli; infatti essi hanno il lato DM in comune, AM = MC perché M è punto medio di AC, e gli angoli compresi AMD e CMD congruenti perché retti. Di conseguenza i triangoli avranno congruenti anche i lati AD e CD. Si può procedere in maniera analoga considerando via via le coppie di triangoli CMD e CMB; CMB e BMA; BMA e AMD; fino ad arrivare alla conclusione che AB = BC = CD = DA.
Il rettangolo è pertanto un quadrato.
Il rettangolo è pertanto un quadrato.
