Figure isoperimetriche: calcolare l’area di un quadrato isoperimetrico ad un triangolo
L’area di un triangolo rettangolo è 384 cm^2 e i cateti sono uno i 3/4 dell’altro. Sapendo che l’altezza relativa all’ipotenusa misura 19.2 cm, calcola l’area di un quadrato sapendo inoltre che il quadrato e il triangolo sono figure isoperimetriche.
Procediamo a ritroso partendo da quello che il problema chiede, cioè determinare l’area di un quadrato, che si può calcolare con la formula 
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Ci servirà quindi la misura del lato del quadrato, perché trattandosi di figure isoperimetriche, esso ha lo stesso perimetro di un triangolo. Dovremo procedere determinando prima il perimetro del triangolo, di cui conosciamo il rapporto tra i cateti, l’area e l’altezza relativa all’ipotenusa.
In un triangolo, se consideriamo come base un lato – nel nostro caso l’ipotenusa – e ne conosciamo l’altezza ad esso relativa e l’area, possiamo risalire alla misura della base, cioè l’ipotenusa, con la formula inversa
Quindi
Per conoscere le misure dei 2 cateti, invece, possiamo osservare che, raddoppiando la superficie del triangolo, costruiamo un rettangolo la cui superficie sarà formata da 3 * 4 = 12 quadrati congruenti.
Quindi se raddoppiamo l’area del triangolo e poi la dividiamo per 12, possiamo avere l’area di un singolo quadratino, da cui estraendo la radice quadrata possiamo risalire al lato del quadrato e, di conseguenza alla misura dei 2 cateti. Indichiamo con l la misura del lato di un quadratino, con Ar l’area del rettangolo e Aq l’area di un quadratino.
I cateti AC ed AB quindi conterranno rispettivamente 3 volte e 4 volte la lunghezza del lato del quadratino, quindi misureranno:
Calcoliamo ora il perimetro del triangolo (2pt), necessario perché uguale al perimetro del quadrato (2pq), essendo figure isoperimetriche.
Conoscendo il perimetro del quadrato, possiamo dividerlo per 4 e ottenere così la misura del lato l del quadrato:
E l’area del quadrato Aq sarà:
Se vuoi esercitarti con un problema sul calcolo del rapporto tra le aree di figure isoperimetriche, vai a questo link.
