Figure isoperimetriche: calcolare il rapporto tra le aree di un rettangolo ed un quadrato

Un rettangolo ha il perimetro di 120 cm e la base lunga 45 cm. Calcola il rapporto tra le aree del rettangolo e di un quadrato sapendo che sono due figure isoperimetriche. È maggiore l’area del rettangolo o quadrato? 

Calcoliamo subito l’altezza del rettangolo, visto che basta sottrarre al perimetro 2 volte la lunghezza della base e dividere poi la differenza per 2:

 

Calcoliamo l’area del rettangolo, con la consueta formula :

 

Sappiamo che il rettangolo e il quadrato sono sono due figure isoperimetriche, dunque il perimetro è lo stesso; basterà dividere per 4 il perimetro per conoscere la lunghezza del lato del quadrato: 

 

E l’area del quadrato possiamo calcolarla con la formula 

 

Notiamo che l’area del quadrato è maggiore dell’area del rettangolo e se vogliamo conoscere il rapporto tra le 2 aree, indichiamo con Ar l’area del rettangolo e con Aq l’area del quadrato; otteniamo:

 

il che significa che l’area del rettangolo è 3/4 dell’area del quadrato, come si può anche vedere dalla figura.

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