I numeri ciclici

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Prendiamo il numero 142857. Moltiplichiamolo per 2, 3, 4, 5 e, infine, 6. Otterremo i seguenti risultati:

1 x 142857 = 142857

2 x 142857 = 285714

3 x 142857 = 428571

4 x 142857 = 571428

5 x 142857 = 714285

6 x 142857 = 857142

In matematica c’è una categoria molto particolare di numeri, noti come numeri ciclici, che se moltiplicati per un numero compreso tra 1 e n, dove n è il numero di cifre, danno come risultato un numero ancora di n cifre, per giunta le stesse e nella stessa sequenza, ma traslate (ad esempio moltiplicando 142857 x 2, si ottiene 285714, che rispetto al precedente ha le stesse cifre nello stesso ordine ma scalate di posto); se invece vengono moltiplicati per n+1, si ottiene un numero fatto da n cifre tutte uguali a 9.
Nel nostro caso, n+1 = 7, quindi:

7 x 142857 = 999999

Ecco una breve videolezione dal canale Youtube di Natura Matematica sui numeri ciclici, che ho realizzato appositamente per questo post:

Un’altra curiosità dei numeri ciclici è che essi, se moltiplicati per un qualsiasi numero naturale, danno come risultato un numero le cui cifre, se raggruppate e addizionate in blocchi da n cifre, danno ancora un numero con la stessa sequenza di cifre. Facciamo un esempio anche in questo caso:

142857 x 97 = 13857129; partendo da destra lo suddividiamo in un primo blocco di 6 cifre, perché 6 sono le cifre del numero iniziale, cioè 857129 e gli addizioniamo il numero formato dalle cifre restanti, cioè 13.
Otteniamo:

857129 + 13 = 857142 ^__^.

Un’altra categoria molto curiosa di numeri particolari è quella dei numeri narcisisti…