Introdurre le potenze in matematica con un problema di scienze
A volte capita che i nostri alunni ci chiedano a cosa serva il concetto di potenza nella quotidianità, visto che spesso li bombardiamo di espressioni in cui bisogna applicare le relative proprietà. Perché allora non introdurre il concetto stesso di potenza mediante un problema di natura pratica, interdisciplinare tra matematica e scienze?
Supponiamo di considerare il tempo di riproduzione per scissione binaria impiegato da un batterio di una data specie, immaginando che corrisponda a 20 minuti circa. Supponiamo inoltre di avere, nell’istante iniziale t0 = 0′, un solo batterio; se ogni batterio si riproduce ogni 20′ circa, quanti batteri troveremo dopo 4h (ore)?
Possiamo innanzitutto schematizzare la situazione con un diagramma ad albero, per aiutarci a capire la richiesta del problema e scartare subito le risposte errate a cui subito si pensa:
Come si vede dal disegno sotto, alla prima generazione (t1) ci sono 2 batteri, perché quello di partenza, riproducendosi per scissione binaria, si divide letteralmente in 2 batteri-figli. E’ importante fare questa considerazione, perché se il primo batterio desse luogo a 2 batteri senza però “lasciarci le penne”, allora alla prima generazione dovremmo avere 3 batteri e non 2! Proseguiamo con le fasi successive: alla seconda generazione (t2), siccome ciascuno dei 2 batteri precedenti è andato incontro ad un processo riproduttivo, ci sono 4 batteri. Alla terza generazione (non presente in figura) ce ne sono 8, e così via. In sostanza, siccome ciascun batterio di ogni generazione “si sdoppia”, per avere il numero di batteri della generazione successiva basterà moltiplicare per 2 il numero di batteri della generazione precedente. Il concetto in sé è piuttosto semplice, ma non possiamo stare a disegnare ogni volta degli schemi del genere, soprattutto quando ragioniamo su un numero elevato di generazioni. Bisogna trovare una regola, un algoritmo matematico che consenta di generalizzare il procedimento.Possiamo pertanto ricorrere al concetto di elevamento a potenza. Elevare a potenza un numero naturale significa considerare una moltiplicazione in cui compare come fattore un numero (la base della potenza) tante volte quante sono indicate nel numero scritto in alto (l’esponente della potenza). Siccome in tal caso raddoppiamo ogni volta il numero di batteri della generazione precedente, la potenza in questione avrà base 2, mentre il suo esponente sarà dato dal numero di generazioni considerate. Abbiamo visto che il numero di batteri in un’ora sarà il numero di batteri di 3 generazioni, ossia 2^3 = 8, in quanto gli intervalli di tempo utili a risolvere il nostro problema sono 3 da 20 minuti ciascuno. In 4 ore quindi avremo 12 intervalli da 20 minuti ciascuno, per cui la potenza risolutiva del problema sarà:
