Il minimo comune multiplo spiegato attraverso un problema concreto
Oltre al procedimento aritmetico imparato a scuola per determinare il minimo comune multiplo (m.c.m.) tra due o più numeri naturali, ci siamo mai chiesti, innanzitutto, cosa significa determinarlo nella vita reale? Cos’è questo m.c.m.?
Faccio una premessa: il procedimento aritmetico per calcolare il minimo comune multiplo (mcm) è sicuramente uno strumento potente e rapido per arrivare alla soluzione, ed è consigliato soprattutto quando si ha a che fare con numeri naturali piuttosto alti e/o primi tra loro, per i quali una risoluzione di tipo grafico dilaterebbe enormemente i tempi di risoluzione e sarebbe anche scomoda da attuare. Possiamo però utilizzare una coppia di numeri naturali per noi “non molto alti”, e utilizzare un metodo grafico per cercare almeno di comprendere il senso del minimo comune multiplo.
Supponiamo, ad esempio, di dover risolvere la seguente situazione problematica:
Due ciclisti partono nello stesso istante allineati allo START e devono percorrere uno stesso circuito per una gara: il primo ce la fa in 45 minuti, il secondo in 60 minuti. Quanto tempo dovrà trascorrere affinché i due ciclisti si ritrovino a passare nuovamente allineati allo START?
Possiamo schematizzare con un disegno la nostra situazione, in cui scegliamo come unità di misura un intervallo di tempo pari a 15 minuti (il segmento blu di lunghezza minore) e indichiamo i tempi e le tappe percorse da A col colore rosso, da B col colore verde:
Come si vede dalla figura, A e B si incontrano al punto di partenza soltanto dopo 180 minuti, cioè 3 ore. Infatti, poiché A impiega soltanto 45 minuti, dopo aver compiuto il primo giro non si troverà allineato con B, perché quest’ultimo sarà ancora impegnato a completare il primo giro, dal momento che impiega 60 minuti per tornare al punto di partenza. Nei giri successivi, osserviamo come ancora i due atleti continuino a passare allo START in istanti diversi, finché non si ritrovano a passare insieme a 180 minuti dall’inizio.
In poche parole, noi stiamo cercando il più piccolo multiplo comune ad entrambi i numeri, ossia il minimo comune multiplo (m.c.m.), perché sicuramente i due atleti, se continuassero all’infinito a correre, si ritroverebbero a passare insieme allo START in altrettanti infiniti istanti di tempo, essendo infiniti i multipli comuni a due o più numeri! A noi però serve sapere l’istante di tempo immediatamente successivo in cui si incontreranno, cioè il multiplo comune più piccolo tra tutti gli infiniti possibili.
Vediamo infatti quali sono i multipli di 45 e di 60 e quelli a loro comuni:
Come si può vedere dai due insiemi dei multipli di 45 e 60, a parte 0, il primo multiplo comune che si incontra è proprio 180, seguito da 360, ecc. Pertanto 180 è proprio il minimo comune multiplo.
Si ma, praticamente a che serve? Quello dei due ciclisti non è un problema che la gente comune affronta tutti i giorni.
Sicuramente non è un problema che capita di affrontare tutti i giorni, ma non bisogna pensare che si debba studiare solo quello che ci è utile nella quotidianità, altrimenti potremmo sopravvivere anche senza scuola, mentre ad un livello più elevato la ricerca di base andrebbe a farsi friggere… e con essa inevitabilmente anche quella applicata. Senza considerare poi che non c'è un utile oggettivo, ma soggettivo e relativo alla propria esistenza: chi progetta le corse degli autobus di linea, giusto x fare un esempio, lo troverebbe un concetto molto utile, così come chi un giorno si vorrà occupare di minerali benedirà le ore di studio passate sui libri di geometria.
inoltre l'obiettivo di questo problema non è quello di fare un esempio quotidiano, bensì di far capire come possa un concetto matematico teorico applicarsi ad un problema concreto, che magari non userai mai, ma potrebbe tornare utile un giorno o, in caso contrario, aprire soltanto la mente a nuove considerazioni logiche. 😉
Infine, non dimentichiamo che la matematica è una scienza astratta, e si forma con le sue strutture nelle nostre menti indipendentemente dalla realtà che ci circonda.
Ciao!