Piramide retta con base quadrangolare: determinare area della superficie totale e volume
In una piramide retta con base quadrangolare, l’apotema forma con la proiezione sul piano di base un angolo ampio 60°. Sapendo che l’area della superficie di base è 2500 cm^2 , calcola l’area della superficie totale e il volume della piramide.
Per ottenere l’area totale della piramide, oltre all’area di base che già conosciamo, è indispensabile conoscere anche l’area della superficie laterale. Quest’ultima è data dalla somma delle aree dei triangoli isosceli delle facce laterali, più semplicemente come:
dove p indica il semiperimetro di base ed a l’apotema della piramide.
Ricordiamo intanto che una piramide retta è tale se nel poligono di base è possibile inscrivere una circonferenza e se il centro della circonferenza coincide col piede dell’altezza della piramide.
Il semiperimetro di base si può calcolare determinando prima la lunghezza di uno spigolo di base della piramide, mentre l’altezza relativa alla base non è altro che l’apotema della piramide stessa. Possiamo conoscere gli spigoli di base l, che non sono altro che i lati del quadrato di base, estraendo la radice quadrata dell’area già nota:
Per determinare invece l’apotema della piramide, dobbiamo tenere conto di un altro dato del problema; infatti l’apotema forma un angolo di 60° con la sua proiezione sulla base, per cui l’apotema, l’altezza della piramide e la proiezione dell’apotema sul piano di base formano un triangolo con un angolo di 60° ed un angolo di 30°. Come abbiamo già visto in un post precedente, nei triangoli rettangoli con angoli di 60° e 30°, il cateto minore è la metà dell’ipotenusa. Se la base è quadrata e la piramide è retta, allora la proiezione dell’apotema sulla base dev’essere lunga la metà dello spigolo di base, per cui:
E allora l’ipotenusa, ossia l’apotema della piramide, sarà:
L’area della superficie laterale quindi sarà:
E l’area della superficie totale:
Per il volume la formula è:
Abbiamo bisogno soltanto dell’altezza h della piramide. Essa non è altro che il cateto maggiore del triangolo rettangolo della figura, per cui si può ottenere moltiplicando il cateto minore per la radice quadrata di 3 (se non ricordiamo la formula dall’analisi condotta nel post di cui sopra, possiamo ricavarne la misura col teorema di Pitagora):
Quindi il volume sarà:
Se vuoi consultare un problema analogo, relativo ad una piramide retta con base triangolare, vai a questo post. Se invece vuoi vedere qualche esempio di problema con piramidi non rette a base quadrangolare, vai a questo link.
