Problema svolto: determinare l’equazione di una circonferenza noti 3 suoi punti e l’equazione di una retta tangente ad essa in un punto
Una circonferenza taglia l’asse delle ascisse nei punti di ascissa -1 e 4 e passa per il punto A(3;2). Determina l’equazione della circonferenza e l’equazione della retta tangente ad essa nel punto A.
Notiamo subito che in questo problema abbiamo già tre condizioni per poter determinare l’equazione della circonferenza. Essa infatti passa per il punto A(3;2) e dovendo passare anche per i punti di ascissa -1 e 4 dell’asse x, possiamo denominarli come B(-1;0) e D(4;0). Se imponiamo il passaggio della generica circonferenza per questi 3 punti, possiamo ottenere 3 equazioni in 3 incognite, che corrispondono proprio ai coefficienti a, b e c della generica equazione:
Imponiamo il passaggio per B(-1;0):
Imponiamo il passaggio per D(4;0):E infine con A(3;2):
Mettiamo a sistema le 3 equazioni per ottenere i valori di a, b e c:
Risolviamolo (salto qualche passaggio):
Quindi l’equazione sarà:
Adesso determiniamo l’equazione della retta tangente alla circonferenza nel punto A(3;2). Innanzitutto, tale retta dovrà appartenere al fascio proprio di rette di centro A(3;2), per cui l’equazione di tale fascio in forma implicita sarà (per questa parte del problema vedi anche questo post):
Siccome la tangente è perpendicolare al raggio nel punto di contatto, allora possiamo ottenere il valore di m imponendo la condizione secondo cui la distanza della tangente dal centro della circonferenza sia uguale al raggio. Determiniamo pertanto le coordinate del centro C e la lunghezza del raggio r della circonferenza:
Il centro ha coordinate C(3/2;0). Determiniamo la lunghezza del raggio:
Imponiamo ora che la distanza del centro C dalla tangente sia uguale al raggio, con la formula della distanza di un punto da una retta:
Sostituiamo i valori e risolviamo rispetto a m:
Eleviamo ambo i membri al quadrato:
%5E2=%5Cfrac%7B25%7D%7B4%7D(m%5E2+1) "(-frac{3}{2}m+2)^2=frac{25}{4}(m^2+1)")
Otteniamo:
Risolviamo l’equazione di secondo grado rispetto a m ed otteniamo due radici reali e coincidenti:
E l’equazione della retta quindi sarà, in forma implicita:
Per trovare la tangente io utilizzerei un altro metodo.
Trovata l'eq. della circonferenza x^2+y^2-3x-4=0 per trovare la tg. al punto, appartenente alla circonferenza (3,2) basta fare cosi':
(x-3)^2+6x-9+(y-2)^2+4y-4 -3x -4=0 cosi abbiamo riscritto l'eq, senza cambiarla, ora la tg. e' formata dai soli termini di grado 1 e 0, cioe' 6x-9+4y-4-3x-4=0, cioe' sommando i termini simili 3x+4y-17=0. Semplice no?