Problema svolto su area della superficie totale e volume di una piramide con base rettangolare

Una piramide con base rettangolare ha l’altezza lunga 12 cm e le dimensioni del rettangolo di base lunghe 10 cm e 18 cm. Sapendo che il piede dell’altezza coincide col punto d’intersezione delle due diagonali del rettangolo di base, determina il volume e l’area della superficie totale della piramide.
  

Per questo problema possiamo cominciare indifferentemente dal calcolo del volume o dell’area. Cominciamo dal volume, ricordando che la formula generale per calcolare il volume di una piramide è (indicando con Sb l’area della superficie di base):

L’area del rettangolo di base si può ottenere dal prodotto delle due dimensioni del rettangolo (la classica formula “base x altezza”):

Quindi il volume V sarà:

Ora per determinare l’area della superficie totale, dobbiamo sommare all’area della superficie di base l’area della superficie laterale, ossia:

L’area di base l’abbiamo già determinata. Resta l’area laterale, per la quale è indispensabile la misura dell’apotema della piramide, ossia l’altezza di ciascuna faccia triangolare.

La piramide in questione ha due apotemi di lunghezza diversa, a ed a’, in quanto la base è rettangolare, per cui i triangoli delle facce laterali sono congruenti due a due, non tutti e quattro, e quindi le loro altezze saranno anch’esse congruenti due a due. Conviene quindi calcolare l’area di due facce laterali diverse, poi raddoppiarle e sommare il tutto per ottenere l’area laterale.

Per poter determinare i due apotemi a ed a’, possiamo osservare che l’altezza h della piramide e ciascun apotema rappresentano rispettivamente un cateto e l’ipotenusa di due distinti triangoli rettangoli. Con il teorema di Pitagora possiamo quindi calcolarne la lunghezza, considerando che i cateti minori di questi due triangoli saranno lunghi la metà delle due dimensioni del rettangolo di base:

Avremo quindi che l’area delle facce AVB e CVD sommate insieme sarà: