Due rette parallele sono rette non incidenti, ossia non hanno un punto d’intersezione. In geometria analitica si può determinare con facilità se due rette siano tra loro parallele o meno. Per capire invece quando due rette sul piano cartesiano possono definirsi perpendicolari, vai
a questo link.Se due rette sono tra loro parallele, allora esse devono avere lo stesso coefficiente angolare. Il concetto è piuttosto intuitivo, dal momento che il coefficiente angolare dà informazioni sulla pendenza di una retta, e due rette parallele dovranno avere la stessa direzione. Sappiamo d’altro canto che in matematica non si dimostra un enunciato con un esempio pratico ma con un ragionamento rigoroso (assiomi e postulati a parte…). Cerchiamo quindi di capirne il motivo con una semplice dimostrazione.
Siano a ed a’ due qualsiasi rette parallele tra loro per ipotesi. Se m e m’ sono i rispettivi coefficienti angolari, vogliamo dimostrare che:
Disegniamo su un sistema di assi cartesiani ortogonali due generiche rette parallele tra loro per ipotesi (vedi figura) e indichiamo con A ed A’ le loro intersezioni con l’asse delle ascisse. Per comodità, a partire da questi due punti, individuiamo sull’asse x due segmenti di lunghezza 1, e conduciamo per i punti B e B’ individuati due rette perpendicolari all’asse x, che intersecano le rette a ed a’ in due punti, che chiameremo C e C’.
I due triangoli così costruiti, ABC ed A’B’C’, sono congruenti, in quanto AB = A’B’ per costruzione, gli angoli A ed A’ congruenti perché angoli corrispondenti formati dalle due parallele tagliate da una trasversale (l’asse x), e gli angoli B e B’ congruenti perché retti. Sono congruenti quindi per il secondo criterio di congruenza dei triangoli e, di conseguenza, dovranno avere congruenti anche i lati BC e B’C’ ed anche i coefficienti angolari.
Ma perché questo dimostrerebbe che i coefficienti angolari hanno uguale valore?
Il coefficiente angolare di una retta può essere definito come rapporto tra la differenza delle ordinate di due punti di essa e la differenza delle ascisse degli stessi punti:
Se le ascisse di due punti di una retta differiscono di 1, come ad esempio i punti A e C, oppure A’ e C’, allora avremo:
Quindi nel passare dal punto A a C (oppure da A’ a C’) l’ordinata deve aumentare di una quantità proprio uguale al coefficiente angolare. E siccome sia A che A’ sono punti dell’asse x, ad ordinata nulla, i punti C e C’ avranno come ordinata proprio il coefficiente angolare della relativa retta. E poiché BC = B’C’, i coefficienti angolari delle due rette dovranno essere uguali:
Se abbiamo due equazioni di due rette scritte in forma esplicita, è piuttosto immediato il confronto tra i coefficienti angolari. Ricordiamo tuttavia che il coefficiente angolare non è definito per l’asse y né per rette parallele all’asse y, per cui è preferibile trovare un criterio altrettanto immediato ma valido per tutte le rette del piano. Scriviamo quindi le equazioni di due rette qualsiasi in forma implicita:
Esse avranno coefficienti angolari:
Se sono rette parallele, allora:
