Teorema di Pitagora applicato a triangoli rettangoli con un angolo di 30° e l’altro di 60°
Vediamo come l’applicazione del teorema di Pitagora può condurci a generalizzare le relazioni che intercorrono tra i lati di un triangolo rettangolo i cui angoli acuti misurino 30° e 60°.
Se sappiamo che un triangolo rettangolo ABC ha un angolo di 30° (o di 60°), allora vorrà dire che l’angolo restante dovrà misurare 60° (o 30°), in modo che la somma degli angoli interni possa misurare 180°.
Se abbiamo un occhio attento, possiamo constatare che, prolungando il cateto AB dalla parte di B, in modo da costruire un segmento A’B = AB, il triangolo ACA’ così ottenuto dovrà essere equilatero. Infatti, se per costruzione A’B = AB, i triangoli ABC e A’BC saranno congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli, dal momento che BC è lato comune ai due triangoli, A’B = AB e gli angoli compresi tra questi due lati saranno anch’essi congruenti perché entrambi retti. Di conseguenza, anche BC = AC e l’angolo CAA’ = CA’A, quindi il triangolo ACA’ sarà isoscele.
Se però sappiamo che l’angolo CAA’ misura 60°, allora anche CA’A dovrà misurare 60°, ed anche l’angolo ACA’ avrà la stessa ampiezza, poiché doppia dell’ampiezza dell’angolo ACB, che misura 30°.
Il triangolo ACA’ è dunque equilatero e si può constatare facilmente che il cateto minore AB del triangolo ABC è lungo la metà dell’ipotenusa; infatti esso è pari alla metà di AA’, che a sua volta è congruente ad AC perché il triangolo è equilatero.
Se inoltre applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo ABC e indichiamo con l la lunghezza dell’ipotenusa, potremo osservare:
Quindi, sintetizzando, in un triangolo rettangolo con un angolo di 30° (e l’altro di 60°) l’applicazione del teorema di Pitagora ci conduce alle seguenti conclusioni:
